Question

（2012•甘肃一模）（文科）已知函数f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2+2sin（2x-

π

6

），由此求得它的最大值，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，解开得到函数的增区间．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x-

π

6

）≥

1

2

，故 2kπ+

5π

6

≥2x-

π

6

≥2kπ+

π

6

，k∈z，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数f（x）=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x=1+2sin²x+

3

sin2x=1+1-cos2x+

3

sin2x
=2+2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2+2sin（2x-

π

6

）．
故当 sin（2x-

π

6

）=1时，函数f（x）取得最大值为4．
 令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得  kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数的增区间为[kπ-

π

6

≤xkπ+

π

3

]，k∈z．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x-

π

6

）≥

1

2

，
∴2kπ+

5π

6

≥2x-

π

6

≥2kπ+

π

6

，k∈z．
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

2

，
故使f（x）≥3成立的x的集合为{x|kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

2

，k∈z }．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．