Question

若对于区间D内的任意一个自变量x₀，其对应的函数值f（x₀）都属于区间D，则称函数y=f（x）在区间D上封闭．那么，对于区间D=（0，1），下列函数中在区间D上封闭的是

②④⑤

．（填写所有符合要求的函数式所对应的序号）
①f（x）=-2x+1；          ②f（x）=x²-x+1；       ③f(x)=log2x2；   ④f(x)=

2x

2x+1

；    　　⑤f（x）=|2x-1|．

Answer 1

分析：根据新定义，可以考察每个函数的值域C，若C⊆D，则符合要求，否则不符合要求．

解答：解：①f（x）=-2x+1在D上单调递减，f（x）∈（f（1），f（0））=（-1，1）?D，不符合要求．
②f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

，在D上的最小值为f（

1

2

）=

3

4

，最大值为f（0）=f（1）=1，符合要求．
③x∈（0，1）时，x²∈（0，1），f(x)=log2x2∈（-∞，0）?D，不符合要求．
 ④f(x)=

2x

2x+1

=1-

1

2x+1

，x∈（0，1）时，2^x∈（1，2），

1

2x+1

∈（

1

3

，

1

2

），f（x）∈（

1

2

，

2

3

）⊆D，符合要求．
⑤x∈（0，1）时，2x-1∈（-1，1），f（x）∈（0，1）=D，符合要求．
故答案为：②④⑤

点评：本题以新定义函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，转化为求函数值域问题．