Question

二次函数y=f（x）的图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）根据图象写出f（x）在区间[-1，4]上的值域；
（Ⅱ）根据图象求y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）试求k的范围，使方程f（x）-k=0在（-1，4]上的解集恰为两个元素的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据图象的最低点与最高点得出f（x）的值域．
（Ⅱ）由图象与x轴交点，用待定系数法求出f（x）的解析式．
（Ⅲ）方法1，构造函数g（x）=f（x）-k，判定二次函数g（x）在（-1，4]上有两个零点即可；
方法2，由原方程的解与函数y=x²-2x-3，x∈（-1，4]和y=k的图象的交点有两个，结合图象得出结论．

解答：解：（Ⅰ）由图象知，图象最低点f（1）=-4，最高点f（4）=5，
∴f（x）在区间[-1，4]上的值域为[-4，5]．
（Ⅱ）根据图象设y=a（x+1）（x-3），
即y=a（x²-2x-3），
因为图象过点（1，-4），所以a（1-2-3）=-4．
解得a=1．
所以二次函数的解析式为y=f（x）=x²-2x-3．
（Ⅲ）方法1：设g（x）=f（x）-k=x²-2x-3-k，
依条件有

f(-1)＞0 f(4)≥0 △＞0

，
即

1+2-3-k＞0 16-8-3-k≥0 4+4(3+k)＞0

，
解得-4＜k＜0；
∴k的取值范围是{k|-4＜k＜0}．
方法2：∵原方程的解与两个函数y=x²-2x-3，x∈（-1，4]和y=k的图象的交点构成一一对应．
∴由图象知，当-4＜k＜0时，原方程在（-1，4]上的解集为两元素集合，
∴k的取值范围是{k|-4＜k＜0}．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时能数形结合，有助于解题，是中档题．