Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得|AP|²=|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．因为$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，所以a=2c，b=$\sqrt{3}$．再由直线l与椭圆C相切，能求出椭圆方程；
（2）设直线m的方程为y=k（x-4），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由此判断直线m的存在性．

解答 解：（1）由题得过两点A（4，0），B（0，2），
直线l的方程为x+2y-4=0．
因为$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，所以a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\end{array}\right.$，消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因为直线l与椭圆C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）假设存在过点A（4，0）的直线m．
∵直线m的斜率存在，∴设直线m的方程为y=k（x-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
解得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又直线l：x+2y-4=0与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相切，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
解得x=1，y=$\frac{3}{2}$，所以P（1，$\frac{3}{2}$）．
则|AP|²=$\frac{45}{4}$．所以|AM|•|AN|=$\frac{45}{4}$，
又|AM|•|AN|=$\sqrt{（4-{x}_{1}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（4-{x}_{2}）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\sqrt{（4-{x}_{1}）^{2}+{k}^{2}（4-{x}_{1}）^{2}}$•$\sqrt{（4-{x}_{2}）^{2}+{k}^{2}（4-{x}_{2}）^{2}}$
=（k²+1）（4-x₁）（4-x₂）
=（k²+1）[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]
=（k²+1）（$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-4×$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+16）
=（k²+1）•$\frac{36}{3+4{k}^{2}}$．
所以（k²+1）•$\frac{36}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{45}{4}$，解得k=±$\frac{1}{2}$．经检验不成立．
所以不存在过点A（4，0）的直线m．

点评 本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在．综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．