Question

【题目】如图AB是抛物线C：x2=4y过焦点F的弦（点A在第二象限），过点A的直线交抛物线于点E，交y轴于点D（D在F上方），且|AF|=|DF|，过点B作抛物线C的切线l
（1）求证：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，求AB的直线方程．

Answer 1

【答案】
证明：（1）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则D（0，y1+2）
∴kAE=﹣，
∵x2=4y，∴y′=x，
∴kl=x2 ，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，可得x2﹣4kx﹣4=0，
∴x1x2=﹣4，
∴kAE=kl ，
∴AE∥l；
（2）解：直线AE的方程为y﹣y1=﹣（x﹣x1），
与x2=4y联立，可得x2+x﹣4y1﹣8=0，
∴x1+xE=﹣，∴xE=﹣﹣x1 ， ∴E（﹣﹣x1 ， ++4），
∵以AE为直径的圆过点B，
∴kABkBE=﹣1，
∴=﹣1，
∴（x2+x1）（3x2﹣x1）=﹣16，
∵x1x2=﹣4，x2+x1=4k，
∴x2=k﹣，x1=3k+，
∴（k﹣）（3k+）=﹣4，
∴k=±，
∴直线AB的方程为y=±x+1．
【解析】（1）证明kAE=kl ， 即可证明：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，kABkBE=﹣1，利用韦达定理，即可求AB的直线方程