Question

（2013•杭州二模）设数列{a_n}是首项为1的等比数列，若{

1

2an+an+1

}是等差数列，则(

1

2a1

+

1

a2

)+(

1

2a2

+

1

a3

)+…+(

1

2a2012

+

1

a2013

)的值等于（　　）

A．2012

B．2013

C．3018

D．3019

Answer 1

分析：可设等比数列{a_n}的公比为q，首项为l，可求得a_n=q^n-1，利用{

1

2an+an+1

}是等差数列，可求得q=1，从而可求得（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）的值．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵首项为a₁=l，
∴得a_n=q^n-1，
令b_n=

1

2an+an+1

，则b_n=

1

2qn-1+qn

，
∵{

1

2an+an+1

}是等差数列，
∴b_n+1-b_n=

1

2qn+qn+1

-

1

2qn-1+qn

=

1

(2+q)qn

-

1

( 2 q +1)qn

=

1-q

(2+q)qn

为定值，
∴1-q=0，q=1．
∴a_n=1，
∴（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）
=（

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2a2012

）+（

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

）
=

1

2

×2012+1×2012
=3018．
故选C．

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列与等比数列的综合，求得等比数列{a_n}的公比q=1是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．