Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求异面直线A₁D和BC所成角的大小；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

（1）解：取BB₁的中点E，连接A₁E，DE，则
∵D为CC₁中点，E为BB₁的中点
∴DE∥BC
∴∠A₁DE（或其补角）为异面直线A₁D和BC所成角
在△A₁DE中，DE=2，A₁D=，A₁E=，
∴cos∠A₁DE=
∴∠A₁DE=
即异面直线A₁D和BC所成角为；
（2）证明：取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，∴AO⊥平面BCC₁B₁．
连接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC，CC₁的中点，∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
又A₁B∩BD=B，∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）解：△A₁BD中，A₁D=BD=，A₁B=2，∴S_△A1BD=
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距离为，S_△BCD=1．
设点C到平面A₁BD的距离为d．
由得，
∴．
∴点C到平面A₁BD的距离为．
分析：（1）取BB₁的中点E，连接A₁E，DE，则∠A₁DE（或其补角）为异面直线A₁D和BC所成角，在△A₁DE中，利用余弦定理可求异面直线A₁D和BC所成角；
（2）取BC中点O，连接AO，可得AO⊥平面BCC₁B₁，证明AB₁⊥BD，AB₁⊥A₁B，可得AB₁⊥平面A₁BD．
（3）由，可求点C到平面C的距离．
点评：本题考查线线角，考查线面垂直，考查点到面的距离，正确作出线线角，利用等体积转化求点面距离是关键．