Question

已知函数f(x)=

a

bx-1

，其图象过点（2，2）和（5，

1

2

）；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）利用函数单调性的定义判断函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；
（3）求f（x）函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的图象过点（2，2）和（5，

1

2

），代入坐标可求a、b的值；
（2）用单调性的定义证明函数f（x）在区间[2，6]上是减函数，步骤是①取值，②作差，③判符号，④下结论；
（3）由函数y=

2

x-1

是闭区间上的减函数，在区间的端点上取得最值，求出即可．

解答：解：（1）函数f(x)=

a

bx-1

，图象过点（2，2）和（5，

1

2

），∴

a 2b-1 =2 a 5b-1 = 1 2

，
解得：a=2，b=1；∴函数f（x）的解析式为：f（x）=

2

x-1

（其中x≠1）；
（2）设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数y=

2

x-1

是区间[2，6]上的减函数；
（3）因为函数y=

2

x-1

是区间[2，6]上的减函数，
所以函数y=

2

x-1

在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值，
即当x=2时，y_max=2，当x=6时，y_min=

2

5

；

点评：本题是人教版必修一教材中的例题稍作改编的题目，考查了求函数解析式，证明函数单调性，求函数在闭区间上的最值问题，是基础题．