Question

已知曲线C：y=-x²+x+2关于点M（-1，-2）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：设出曲线Cn上的任一点（x，y），设出该点关于点M（-1，-2）的对称点为（x₀，y₀），由中点坐标公式找出两点坐标间的关系，再由（x₀，y₀）在曲线C：y=-x²+x+2上，代入坐标后整理即可得到曲线为Cn的方程，然后设出两曲线交点A，B的坐标，代入两曲线方程后作差求出直线AB的斜率，利用点斜式求得直线AB的方程．

解答：解：设（x，y）为曲线Cn上的任一点，（x，y）关于点M（-1，-2）的对称点为（x₀，y₀），
则x₀=-2-x，y₀=-4-y．
依题意，点（x₀，y₀）在曲线C上，∴-4-y=-（-2-x）²-2-x+2．
化简、整理，得曲线Cn的方程：y=x²+5x；
由

y=-x2+x+2 y=x2+5x

消去y，得：x²+2x-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2，x₁x₂=-1．
∵y1=-

x

2 1

+x1+2，y2=-

x

2 2

+x2+2．
两式相减，得：

y1-y2=[1-(x1+x2)](x1-x2) ∵x1≠x2 ∴k= y1-y2 x1-x2 =1-(x1+x2)=3

∴直线AB方程为：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．

点评：本题考查了曲线与方程，考查了代入法求曲线的方程，训练了利用“点差法”求直线的斜率，属中高档题．