【题目】已知球的半径为3,该球的内接正三棱锥的体积最大值为,内接正四棱锥的体积最大值为,则的值为__________.
【答案】
【解析】
设球心O到正三棱锥 底面MNQ的距离为x,则VP﹣MNQ,设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a,底面到球心的距离等于x,则V(x)a2h(18﹣2x2)(3+x),利用均值不等式分别求最值即可.
设球心O到正三棱锥 底面MNQ的距离为x,则0≤x<3,
设底面中心为O′,则O′M,
∴底面边长MNO′M,棱锥的高SO′=x+3,
∴VP﹣MNQ(3+x)(6﹣2x)(x+3)()3=8.即8
当且仅当x+3=6﹣2x即x=1时取得等号.
设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a,底面到球心的距离等于x,
则:x2+(a)2=9,
而正四棱锥的高为h=3+x,
故正四棱锥体积为:
V(x)a2h(18﹣2x2)(3+x)(6﹣2x)(3+x)(3+x)
()3,即
当且仅当x=2时,等号成立,
∴
故答案为:
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【题目】下列说法正确的是__________(填序号)
(1)已知相关变量满足回归方程,若变量增加一个单位,则平均增加个单位
(2)若为两个命题,则“”为假命题是“”为假命题的充分不必要条件
(3)若命题,,则,
(4)已知随机变量,若,则
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【题目】甲、乙两位同学参加诗词大赛,各答3道题,每人答对每道题的概率均为,且各人是否答对每道题互不影响.
(Ⅰ)用表示甲同学答对题目的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”,求事件发生的概率.
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【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径 | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(1)由以往统计数据知,设备的性能根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);①;②;③,评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,试判断设备的性能等级
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
(i)若从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,求恰有一件次品的概率;
(ii)若从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆过点,左焦点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于,两点,线段的中点为,点在椭圆上,满足(为坐标原点).判断的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】记无穷数列的前n项中最大值为,最小值为,令,数列的前n项和为,数列的前n项和为.
(1)若数列是首项为2,公比为2的等比数列,求;
(2)若数列是等差数列,试问数列是否也一定是等差数列?若是,请证明;若不是,请举例说明;
(3)若,求.
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