Question

17．已知函数f（x）=（x-a）e^x+a-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞3，讨论函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（3）当a=-2时．曲线y=f（x）与直线y=m有三个交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出函数f（x）的单调性；
（2）若a＞3，f（x）在（-∞，-a）上单调递增，（-a，a-1）上单调递减，（a-1，+∞）上单调递增，分类讨论，即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（3）当a=-2时f（x）在（-∞，-3）上单调递增，（-3，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增，利用曲线y=f（x）与直线y=m有三个交点，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）e^x+a-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x，
∴f′（x）=（x-a+1）（e^x+a-1）=0，可得x=-a或x=a-1，
-a=a-1，即a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增；
-a＞a-1，即a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，a-1）上单调递增，（a-1，-a）上单调递减，（-a，+∞）上单调递增；
-a＜a-1，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，-a）上单调递增，（-a，a-1）上单调递减，（a-1，+∞）上单调递增；
（2）a＞3，f（x）在（-∞，-a）上单调递增，（-a，a-1）上单调递减，（a-1，+∞）上单调递增，
∵a＞3，∴a-1＞2，
2＜a-1＜3，即3＜a＜4时，函数f（x）在[1，3]上的最小值为f（a-1）=e^2a-1-$\frac{1}{2}$（a-1）²+（a-1）²，
a≥4时，函数f（x）在[1，3]上的最小值为f（3）=（3-a）e^3+a-$\frac{9}{2}$+3（a-1）；
（3）a=-2，f（x）=（x+2）e^x-2-$\frac{1}{2}$x²-3x，
f′（x）=0，可得x=-3或2，
f（x）在（-∞，-3）上单调递增，（-3，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增，
∵f（-3）=$\frac{9}{2}-{e}^{-5}$＞0，f（2）=4-2-6=-4＜0，曲线y=f（x）与直线y=m有三个交点，
∴m的取值范围是-4＜m＜$\frac{9}{2}-{e}^{-5}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．