Question

甲、乙两个篮球队进行比赛，每场比赛均不出现平局，而且若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设甲、乙在每场比赛中获胜的概率都是.

(1)求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望Eξ；

(2)如果比赛场馆是租借的，场地租金200元，而且每赛一场追加服务费32元，那么举行一次这样的比赛，预计平均花销费用多少元钱?

Answer 1

解：（1）根据题意ξ的取值应是4,5,6,7

“ξ=4”表示甲胜4场或乙胜4场

∴P(ξ=4)=2;

“ξ=5”表示甲胜第5场且前4场中胜3场，或乙胜第5场且前4场中胜3场

∴P(ξ=5)=;

“ξ=6”表示甲胜第6场且前5场中胜3场，或乙胜第6场且前5场中胜3场

∴P(ξ=6)=;

“ξ=7”表示甲胜第7场且前6场中胜3场，或乙胜第7场且前6场中胜3场

∴P(ξ=7)=;

因此随机变量ξ的分布列为

ξ	4	5	6	7
P

并且Eξ=4×+5×+6×+7×=.

（2）用随机变量η表示举行一次这样比赛的所需费用，则根据条件，知η=32ξ+200,

由于Eξ=,所以Eη=E(32ξ+200)=32Eξ+200=386.

因此举行一次这样的比赛所需费用平均为386元.