Question

8、已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．

Answer 1

分析：先证MN∥QP，MQ∥NP，推出MNPQ是平行四边，再证MQ⊥QP，就是MNPQ是矩形．

解答：证明：连接AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC，∴MN∥QP
同理，连接BD可证MQ∥NP
∴MNPQ是平行四边
取AC的中点K，连BK，DK
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC．
因此平面BKD与AC垂直
∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角
故MNPQ是矩形．

点评：本题考查棱锥的结构特征，直线与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．