Question

如图，已知动圆M过定点F（0，1）且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，动点F′的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A（x₀，y₀）是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、Q，证明：直线PQ的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设F′（x，y），则可M（

x

2

，

y+1

2

），圆M的直径为|FF′|=

x2+(y-1)2

，利用动圆M与x轴相切，即可求得曲线C的方程；
（2）确定A（x0，

x02

4

），设P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），利用直线AP，AQ的倾斜角互补，可得它们的斜率互为相反数，从而可得直线PQ的斜率；

解答： （1）解：设动点F′（x，y），则
因为点F（0，1）在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F′，
所以M（

x

2

，

y+1

2

），…（1分）
且圆M的直径为|FF′|=

x2+(y-1)2

．…（2分）
由题意，动圆M与x轴相切，
所以

|y+1|

2

=

x2+(y-1)2

2

，
两边平方整理得：x²=4y，
所以曲线C的方程x²=4y．            …（6分）
（2）证明：因为A（x₀，y₀）是曲线C：x²=4y上的点，
所以y₀=

x02

4

，A（x0，

x02

4

）．
又点P、Q在曲线C：x²=4y上，
所以可设P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），…（7分）
而直线AP，AQ的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即

x12 4 - x02 4

x1-x0

=-

x22 4 - x02 4

x2-x0

，…（9分）
整理得x₁+x₂=-2x₀．…（10分）   
所以直线PQ的斜率k_PQ=

x22 4 - x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

=-

x0

2

…（14分）为定值．…（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．