Question

给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号为

①②

．
①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3）；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是

x2

5

-

y2

20

=1；
③抛物线y=ax²（a≠0）的焦点坐标为（

1

4a

，0）；
④曲线C：

x2

4-k

+

y2

k-1

=1不可能表示椭圆．

Answer 1

分析：①中直线可化为（x+2）a+（-x-y+1）=0，要使a为任意实数时，此式恒成立，则有

x+2=0 -x-y+1=0

得

x=-2 y=3

，故①正确；②中根据渐近线方程求得a和b的关系，进而根据焦距求得a和b，双曲线方程可得，判断②正确；③把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得抛物线的焦点在y轴上，判断③错误；④当4-k＞0，k-1＞0且4-k≠k-1时，曲线表示椭圆，故④错误．

解答：解：对于①，直线（a-1）x-y+2a+1=0可化为（x+2）a+（-x-y+1）=0，
要使a为任意实数时，此式恒成立，则有

x+2=0 -x-y+1=0

得

x=-2 y=3

，
∴直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3），
故①正确；
②对于依题意知

b

a

=2，a²+b²=25求得a=

5

，b=2

5

，故可知结论②正确；
③整理抛物线方程得x²=

1

a

y，根据抛物线性质可知，抛物线的焦点在y轴上，故③错误；
④当4-k＞0，k-1＞0且4-k≠k-1时，曲线表示椭圆，故④错误．
故答案为：①②

点评：本题以圆锥曲线的性质为载体，综合考查了圆锥曲线的基本性质．熟练掌握圆锥曲线的性质是正确解题的基础．