已知函数, 在处取得极小值2.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)设函数, 若对于任意,总存在, 使得, 求实数 的取值范围.
(1)函数的解析式为 ;(2)时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2 ;(3)a的取值范围是(-∞,-1]∪[ 3,+∞).
【解析】
试题分析:(1)根据函数在极值处导函数为0,极小值为2联立方程组即可求得m,n;(2)由(1)求得函数解析式,对函数求导且让导函数为0,即可求得极大值和极小值;(3)依题意只需即可,当时,函数有最小值-2 ,即对任意总存在,使得的最小值不大于-2 ;而 ,分、、三种情况讨论即可.
试题解析:(1)∵函数在处取得极小值2,∴ 1分
又 ∴
由②式得m=0或n=1,但m=0显然不合题意 ∴,代入①式得m=4
∴ 2分
经检验,当时,函数在处取得极小值2
∴函数的解析式为 4分
(2)∵函数的定义域为且由(1)有
令,解得:
∴当x变化时,的变化情况如下表:
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,1) | 1 | (1,+∞) |
— | 0 | + | 0 | — | |
减 | 极小值-2 | 增 | 极大值2 | 减 |
∴时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2 8分
(3)依题意只需即可.
∵函数在时,;在时,且
∴ 由(2)知函数的大致图象如图所示:
∴当时,函数有最小值-2 10分
又对任意总存在,使得 ∴当时,的最小值不大于-2
又
①当时,的最小值为 ∴得;
②当时,的最小值为 ∴得;
③当时,的最小值为 ∴得或
又∵ ∴此时a不存在
综上所述,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 13分
考点:导数的应用、函数思想、分类讨论思想.
科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4.1练习卷(解析版) 题型:填空题
自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h=gt2,t=2时的瞬时速度为19.6,则g=________.
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科目:高中数学 来源:2015届湖南张家界市高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 1.4 | 2.3 | 3.1 | 3.7 | 4.5 |
若由资料可知y对x呈线性相关关系,且线性回归方程为=a+bx,其中已知b=1.23,请估计使用年限为20年时,维修费用约为________.
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科目:高中数学 来源:2015届湖南张家界市高二上学期期末联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
从装有只红球和只黒球的口袋内任取个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个黒球与都是黒球 B.至少有一个黒球与都是红球
C.至少有一个黒球与至少有只红球 D.恰有只黒球与恰有只黒球
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科目:高中数学 来源:2015届湖南张家界市高二上学期期末联考文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
在计算机语言中有一种函数y=int(x)叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示不超过x的最大整数,如int(0.9)=0,int(3.14)=3,已知令令当n>1时,则 , .
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科目:高中数学 来源:2015届湖南张家界市高二上学期期末联考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
对具有线性相关关系的变量,测得一组数据如下表:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
根据上表,利用最小二乘法得到它们的回归直线方程为.据此模型预测时,的估计值为( )
A. 320 B. 320.5 C. 322.5 D. 321.5
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科目:高中数学 来源:2015届湖北荆门市高二上学期期末质量检测理数学试卷(解析版) 题型:填空题
如果随机变量X~N(-1,σ2),且P(-3≤X≤-1)=0.4,则P(X≥1)=________.
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