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已知函数, 处取得极小值2

1)求函数的解析式;

2)求函数的极值;

3)设函数, 若对于任意,总存在, 使得, 求实数 的取值范围.

 

1)函数的解析式为 ;(2时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2 ;(3a的取值范围是(-,-1]∪[ 3,+).

【解析】

试题分析:(1)根据函数在极值处导函数为0,极小值为2联立方程组即可求得mn;(2)由(1)求得函数解析式,对函数求导且让导函数为0,即可求得极大值和极小值;(3)依题意只需即可,当时,函数有最小值-2 ,即对任意总存在,使得的最小值不大于-2 ;而 ,分三种情况讨论即可.

试题解析:(1)∵函数处取得极小值2,∴ 1

由②式得m=0n=1,但m=0显然不合题意 ∴,代入①式得m=4

2

经检验,当时,函数处取得极小值2

∴函数的解析式为 4

2)∵函数的定义域为且由(1)有

,解得:

∴当x变化时,的变化情况如下表:

x

(-,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+)

0

+

0

极小值-2

极大值2

时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2 8

3)依题意只需即可.

∵函数时,;在时,

∴ 由(2)知函数的大致图象如图所示:

∴当时,函数有最小值-2 10

又对任意总存在,使得 ∴当时,的最小值不大于-2

①当时,的最小值为

②当时,的最小值为

③当时,的最小值为

又∵ ∴此时a不存在

综上所述,a的取值范围是(-,-1]∪[3,+)13

考点:导数的应用、函数思想、分类讨论思想.

 

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x

2

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5

6

y

1.4

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x

2

4

5

6

8

y

20

40

60

80

100

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