Question

16．已知函数f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）当x＞0时，判断f（x）的单调性；
（3）若3^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，需对x进行讨论，分别求解．
（2）利用分析的方法，得出函数的单调性．
（3）对不等式化简整理可得：m≥-3^2t-1，把恒成立问题转换为最值问题，利用单调性求闭区间最值即可．

解答 解：（1）当x＜0时，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{-x}}$=3^x-3^x=0，
∴f（x）=2无解；
当x≥0时，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$=2，
解得x=log₃（1+$\sqrt{2}$）；
（2）当x＞0时，f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$，
∵3^x在（0，+∞）上递增，
∴$\frac{1}{{3}^{x}}$在（0，+∞）上递减，
∴-$\frac{1}{{3}^{x}}$在（0，+∞）上递增，
∴f（x）=3^x-$\frac{1}{{3}^{x}}$在（0，+∞）上递增，
（3）∵3^tf（2t）+mf（t）≥0
∴3^t（3^2t-$\frac{1}{{3}^{2t}}$）+m（3^t-$\frac{1}{{3}^{t}}$）≥0，
∴3^t（3^t+$\frac{1}{{3}^{t}}$）+m≥0，
∴m≥-3^2t-1，
令g（t）=-3^2t-1，在t∈[$\frac{1}{2}$，1]上递减，
∴g（t）的最大值为g（$\frac{1}{2}$）=-4，
∴m≥-4．

点评 考查了抽象函数的讨论问题，函数单调性的判断和恒成立问题．属于基础题型，应熟练掌握．