Question

15．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若c=4，tanA=3，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求△ABC面积6．

Answer 1

分析 根据cosC可求得sinC和tanC，根据tanB=-tan（A+C），可求得tanB，进而求得B．由正弦定理可求得b，根据sinA=sin（B+C）求得sinA，进而根据三角形的面积公式求得面积．

解答 解：∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanC=2，
∵tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=1，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\sqrt{10}$，
∴由sinA=sin（B+C）=sin（$\frac{π}{4}$+C）得，sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴△ABC面积为：$\frac{1}{2}$bcsinA=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的实际应用．正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式都是解三角形的常用公式，需要重点记忆，属于中档题．