【题目】设函数f(x)=|2x+a|+|x﹣ |(x∈R,实数a<0).
(Ⅰ)若f(0)> ,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)求证:f(x)≥ .
【答案】解:(Ⅰ)∵a<0,∴f(0)=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ > , 即a2+ a+1>0,
解得a<﹣2或﹣ <a<0;
(Ⅱ)证明:f(x)=|2x+a|+|x﹣ |= ,
当x≥﹣ 时,f(x)≥﹣ ﹣ ;
当 <x<﹣ 时,f(x)>﹣ ﹣ ;
当x≤ 时,f(x)≥﹣a﹣ ,
∴f(x)min=﹣ ﹣ ≥2 = ,
当且仅当﹣ =﹣ 即a=﹣ 时取等号,
∴f(x)≥ .
【解析】(Ⅰ)去掉绝对值号,解关于a的不等式组,求出a的范围即可(Ⅱ)通过讨论x的范围,结合基本不等式的性质求出求出f(x)的最小值即可.
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题.
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【题目】Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn+1=λSn+1(λ是大于0的常数),且a1=1,a3=4.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=nan , 求数列{bn}的前n项和.
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【题目】如图,在四棱锥E﹣ABCD中,△ABD是正三角形,△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,EC⊥BD.
(Ⅰ)求证:BE=DE;
(Ⅱ)若AB=2 ,AE=3 ,平面EBD⊥平面ABCD,直线AE与平面ABD所成的角为45°,求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
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【题目】某校为提高学生身体素质,决定对毕业班的学生进行身体素质测试,每个同学共有4次测试机会,若某次测试合格就不用进行后面的测试,已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以 为公差的等差数列,若他参加第一次测试就通过的概率不足 ,恰好参加两次测试通过的概率为 .
(Ⅰ)求该同学第一次参加测试就能通过的概率;
(Ⅱ)求该同学参加测试的次数的分布列和期望.
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【题目】已知数列{an}中,a3=5,a5+a6=20,且2 ,2 ,2 成等比数列,数列{bn}满足bn=an﹣(﹣1)nn.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设sn是数列{bn}前n项和,求sn .
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【题目】如图所示,由直线x=a,x=a+1(a>0),y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间,即 a2< x2dx<(a+1)2 . 类比之,若对n∈N*,不等式 <A< + +…+ 恒成立,则实数A等于( )
A.ln
B.ln 2
C. ln 2
D. ln 5
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【题目】已知函数f(x)=xex﹣1﹣a(x+lnx),a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴,求a的值:
(2)在(1)的条件下,求f(x)的单调区间;
(3)若x>0,f(x)≥f(m)恒成立,且f(m)≥0,求证:f(m)≥2(m2﹣m3).
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【题目】已知函数f(x)= ax2+lnx,a∈R. (Ⅰ)若曲线y=f(x)与直线y=3x+b在x=1处相切,求实数a,b的值;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=0时,函数h(x)=f(x)+bx有两个不同的零点,求实数b的取值范围.
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