Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形， ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．
（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；
（Ⅱ）求证：直线CD⊥平面PDE；
（III）在AB上是否存在一点G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小为 ，若存在，确定G的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，

∵PM=2MD，AN=2NB，
∴MF∥DC，MF= ，AN∥DC，AN= ．
∴MF∥AN，MF=AN，
∴MFNA为平行四边形，
即AM∥NA．
又AM平面PNC，
∴直线AM∥平面PNC；
（Ⅱ）∵E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．
∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．
又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．
又DE∩PD=D，∴直线CD⊥平面PDE；
（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系．

则 ．
设面PDA的法向量 ，
由 ，得 ．
设面PDG的法向量 ，
由 ，得 ．
∴cos60°= ．
解得 ，则 ．
∴G与B重合．点B的位置为所求．
【解析】（Ⅰ）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，结合已知可得MF∥DC，MF= ，AN∥DC，AN= ．从而可得MFNA为平行四边形，即AM∥NA．再由线面平行的判定可得直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．进一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由线面垂直的判定可得直线CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G点位置．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．