Question

记关于x的不等式

x-a

x+1

＞0的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q，
（1）若a=3，求P∪Q．
（2）若Q⊆P，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若a=3，不等式即（x-3）（x+1）＞0，由此求得 P．解决对峙不等式求出Q，从而求出P∪Q．
（2）分a＞-1、a=-1、a＜-1三种情况，分别利用Q⊆P求出实数a的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：（1）若a=3，不等式

x-a

x+1

＞0即

x-3

x+1

＞0，即 （x-3）（x+1）＞0，解得 x＜-1，或 x＞3，∴P=（-∞，-1）∪（3，+∞）．
由不等式|x-1|≤1可得-1≤x-1≤1，即 0≤x≤2，故 Q=[0，2]．
∴P∪Q=（-∞，-1）∪[0，2]∪（3，+∞）．
（2）当a＞-1时，由

x-a

x+1

＞0可得 x＞a或 x＜-1，∴P=（-∞，-1）∪（a，+∞）．
再由Q⊆P可得，a＜0．
当a=-1时，P=R，满足Q⊆P．
当a＜-1时，由

x-a

x+1

＞0可得x＜a 或x＞-1，∴P=（-∞，a）∪（-1，+∞），显然满足Q⊆P．
故实数a的取值范围为（-∞，0）．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，集合间的关系，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．