Question

16．已知定圆M：（x+1）²+y²=16，动圆N过点D（1，0），且与圆M相切，记圆心N的轨迹方程为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点P（x，y）（x＞0）在圆x²+y²=3上，过点P作圆E的切线l与曲线C交于A，B两个不同点，求△ABD的周长．

Answer 1

分析 （1）利用动圆P与定圆（x-1）²+y²=16相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即|m|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，求出△ABD的三条边，即可求△ABD的周长．

解答 解：（1）定圆M的圆心M（-1，0），半径r₁=4，设动圆N的圆心为N（x，y），半径为r₂，点D在圆M内，
从而与圆N内切，故|MN|=r₁-r₂=4-|ND|．
所以|MN|+|ND|=4＞|MD|-2，故点N的轨迹是以M、D为焦点的椭圆…（2分）
由2a=4，2c=2，c²=a²-b²．
解得a²=4，b²=3，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1…（5分）
（2）设切线l：y=kx+m是圆O在y轴右边部分上的一点的切线．
所以k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即|m|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$．
联立直线与椭圆方程，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$．
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4|km|}{3+4{k}^{2}}$
由于k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，故|AB|=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$…（9分）
又|AD|=2-$\frac{1}{2}$x₁，|BD|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
所以|AD|+|BD|=4-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，
所以|AD|+|BD+|AB||=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4．
综上所述：△ABD的周长为4…（13分）

点评 本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度．