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16.已知定圆M:(x+1)2+y2=16,动圆N过点D(1,0),且与圆M相切,记圆心N的轨迹方程为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点P(x,y)(x>0)在圆x2+y2=3上,过点P作圆E的切线l与曲线C交于A,B两个不同点,求△ABD的周长.

分析 (1)利用动圆P与定圆(x-1)2+y2=16相内切,以及椭圆的定义,可得动圆圆心P的轨迹M的方程;
(2)由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$,即|m|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$.联立直线与椭圆方程,消去y,利用韦达定理,求出△ABD的三条边,即可求△ABD的周长.

解答 解:(1)定圆M的圆心M(-1,0),半径r1=4,设动圆N的圆心为N(x,y),半径为r2,点D在圆M内,
从而与圆N内切,故|MN|=r1-r2=4-|ND|.
所以|MN|+|ND|=4>|MD|-2,故点N的轨迹是以M、D为焦点的椭圆…(2分)
由2a=4,2c=2,c2=a2-b2
解得a2=4,b2=3,则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1…(5分)
(2)设切线l:y=kx+m是圆O在y轴右边部分上的一点的切线.
所以k<0,m>0或k>0,m<0,由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$,即|m|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$.
联立直线与椭圆方程,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=$\frac{-8km}{4{k}^{2}+3}$,x1•x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$.
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4|km|}{3+4{k}^{2}}$
由于k<0,m>0或k>0,m<0,故|AB|=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$…(9分)
又|AD|=2-$\frac{1}{2}$x1,|BD|=2-$\frac{1}{2}$x2
所以|AD|+|BD|=4-$\frac{1}{2}$(x1+x2)=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$,
所以|AD|+|BD+|AB||=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4.
综上所述:△ABD的周长为4…(13分)

点评 本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法,解题时要注意公式的灵活运用,此题有一定难度.

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