Question

（本小题16分）

已知函数且

   （I）试用含的代数式表示；

   （Ⅱ）求的单调区间；

 （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．

Answer 1

（本小题16分）

已知函数且

   （I）试用含的代数式表示；

   （Ⅱ）求的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

   （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；

解法一:

依题意,得 ,--------------------------------------------------2分

故.------------------------------------------------------------------------------------4分

 由得,

故,

令,则或,--------------------------------------------------6分

当时, ,

当变化时, 与 的变化如下表:

	(,)	(,)	(, )
	+	-	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得,函数的单调增区间为(,)和(, ),单调减区间为(,).

当时, .此时恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为.

当时, ,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为.--------------------------------------------------9分

综上:当时,函数的单调增区间为(,)和(, ),单调减区间为(,);当时,函数的单调增区间为; 当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.-------------------------------10分

(Ⅲ)当时,得

由,得,.

由(Ⅱ)得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值;

故，.------------------------------------------------------------12分

所以直线的方程为，

由，得-------------------------------14分

令.

易得，.而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线存在异于、的公共点. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------16分

解法二:

(I)同解法一

(II)同解法一

(Ⅲ) 当时,得,由,得,.

由(Ⅱ)得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值;

故，.------------------------------------------------------------12分

所以直线的方程为，

由，得-------------------------------14分

解得:, , .

∴, , .

所以线段与曲线存在异于、的公共点.--------------16分