Question

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：

cosα

sinα+sin3α

=

1+α2

4α

．

Answer 1

分析：作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系式证明等式．

解答：解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在（π，

3π

2

）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），
当x∈（π，

3π

2

）时，f（x）=|sinx|=-sinx，
此时f'（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
所以-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
所以

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

2sin2αcosα

=

cosα

4sinαcosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．
所以等式成立．

点评：本题主要考查了两函数的交点的应用，以及三角函数的导数应用，综合性较强，难度较大．