【题目】在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G为BC的中点.
(1)求证:AB∥平面DEG;
(2)求证:BD⊥EG;
(3)求二面角C﹣DF﹣E的正弦值.
【答案】
(1)证明:∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC,
∵BC=2AD,G为BC的中点,∴AD∥BG,且AD=BG,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DG
因为AB不在平面DEG中,DG在平面DEG内,∴AB∥平面DEG
(2)证明:∵EF⊥平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,
∴EF⊥AE,EF⊥BE,∵AE⊥EB,∴EB、EF、EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
由已知得:A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),F(0,3,0),G(2,2,0).
∵ ,∴
∴BD⊥EG
(3)解:由已知得 是平面EFDA的法向量,设平面DCF的法向量为
∵ ,∴ ,令z=1,得x=﹣1,y=2,即 .
设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ,
则 ,∴
∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值为 .
【解析】(1)要证AB∥平面DEG,可在平面DEG中找到一条直线与AB平行,根据题目给出的条件,能够证得AB∥DG;(2)根据题目条件先证明EB、EA、EF两两相互垂直,然后以E为原点,以EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,运用向量数量积等于0 ,从而证明BD⊥EG;(3)在(2)的基础上,求出二面角的两个半平面的法向量,利用法向量求二面角的平面角的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对直线与平面垂直的性质的理解,了解垂直于同一个平面的两条直线平行.
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【题目】函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+ )
B.y=2sin(2x+ )
C.y=2sin( ﹣ )
D.y=2sin(2x﹣ )
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【题目】如图,设Ox、Oy是平面内相交成45°角的两条数轴, 、 分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量 =x +y ,则把有序数对(x,y)叫做向量 在坐标系xOy中的坐标,在此坐标系下,假设 =(﹣2,2 ), =(2,0), =(5,﹣3 ),则下列命题不正确的是( )
A. =(1,0)
B.| |=2
C. ∥
D. ⊥
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【题目】已知函数f(x)= cos4x+2sinxcosx﹣ sin4x.
(1)当x∈[0, ]时,求f(x)的最大值、最小值以及取得最值时的x值;
(2)设g(x)=3﹣2m+mcos(2x﹣ )(m>0),若对于任意x1∈[0, ],都存在x2∈[0, ],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】定义:数列{an}前n项的乘积Tn=a1a2…an , 数列an=29﹣n , 则下面的等式中正确的是( )
A.T1=T19
B.T3=T17
C.T5=T12
D.T8=T11
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【题目】设命题p:函数f(x)=lg(ax2﹣x+ )的值域为R;命题q:3x﹣9x<a对一切实数x恒成立,如果命题“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
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【题目】已知圆C的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,其中m<5.
(1)若圆C与直线l:x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|= ,求m的值;
(2)在(1)条件下,是否存在直线l:x﹣2y+c=0,使得圆上有四点到直线l的距离为 ,若存在,求出c的范围,若不存在,说明理由.
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【题目】已知如表为“五点法”绘制函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象时的五个关键点的坐标(其中A>0,ω>0,|φ|<π)
x | ﹣ | ||||
f(x) | 0 | 2 | 0 | ﹣2 | 0 |
(Ⅰ)请写出函数f(x)的最小正周期和解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
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