Question

数列{a_n}的各项为正数，其前n项和S_n=4-(

1

2

)n-2（n∈N^*）．若T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*），则T_n的取值所在的区间最恰当的是（　　）

• A、(0，

  8

  3

  )
• B、[2，4）
• C、[2，

  8

  3

  )
• D、（0，4）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由S_n=4-(

1

2

)n-2（n∈N^*）．利用公式法求得数列的通项公式a_n=2^2-n．a_na_n+1=2^2-n•2^1-n=2^3-2n，利用等比数列求和公式求得T_n即可得出结论．

解答： 解：∵S_n=4-(

1

2

)n-2（n∈N^*）．
∴n=1时，a₁=s₁=4-(

1

2

)1-2=4-2=2，
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=-(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-3=(

1

2

)n-2=2^2-n，
上式对n=1也成立．
∴a_n=2^2-n．
∴a_na_n+1=2^2-n•2^1-n=2^3-2n，
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=2+2^-1+2^-3+…+2^3-2n=

2[1-( 1 4 )3-2n]

1- 1 4

8

3

[1-(

1

4

)3-2n]＜

8

3

，
又T_n≥T₁=a₁a₂=2^3-2×1=2，
∴T_n∈[2，

8

3

）．
故选C．

点评：本题主要考查公式法求数列的通项公式及等比数列求和知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．