【题目】在平面直角坐标系中,点
,圆
,以动点
为圆心的圆经过点
,且圆
与圆
内切.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若直线过点
,且与曲线
交于
两点,则在
轴上是否存在一点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)在
轴上存在一点
,使得
轴平分
.
【解析】试题分析:(1)根据两圆内切得,再根据椭圆定义得动点
的轨迹
的方程;(2)
轴平分
,就是直线
的斜率相反,设直线
,根据斜率坐标公式得
,将直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理代入化简可得
,即得
试题解析:解:(Ⅰ)圆的方程可化为:
,
故圆心,半径
,
而,所以点
在圆
内.
又由已知得圆的半径
,由圆
与圆
内切可得,圆
内切于圆
,即
,
所以,
故点的轨迹,即曲线
是以
为焦点,长轴长为
的椭圆.
显然,所以
,
故曲线的方程为
(Ⅱ)设,当直线
的斜率不为
时,设直线
,
代入得:
,
恒成立.
由根与系数的关系可得, ,
设直线的斜率分别为
,则由
得,
.
∴,将
代入得
,
因此,故存在
满足题意.
当直线的斜率为
时,直线为
轴,取
,满足
,
综上,在轴上存在一点
,使得
轴平分
.
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【题目】已知数列{an}中,a1= ,an=
(n≥2,n∈N+).
(1)求a2 , a3 , a4的值,并猜想数列{an}的通项公式an .
(2)用数学归纳法证明你猜想的结论.
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【题目】已知{fn(x)}满足f1(x)= (x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)],
(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表达式;
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 公差d≠0,且S3+S5=50,a1 , a4 , a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 +
+…+
=an﹣1(n∈N*),求数列{nbn}的前n项和Tn .
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【题目】已知函数g(x)= 是奇函数,f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数.
(1)求a+b的值.
(2)若对任意的t∈[0,+∞),不等式g(t2﹣2t)+g(2t2﹣k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】医院到某社区检查老年人的体质健康情况,从该社区全体老人中,随机抽取12名进行体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:65,78,90,86,52,87,72,86,87,98,88,86.根据老年人体质健康标准,成绩不低于80的为优良.
(1)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试,求至少有1人成绩是“优良”的概率;
(2)从抽取的12人中随机选取3人,记ξ表示成绩“优良”的人数,求ξ的分布列和期望.
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【题目】已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足 >0,f(2﹣x)=f(x)e2﹣2x则下列判断一定正确的是( )
A.f(1)<f(0)
B.f(3)>e3f(0)
C.f(2)>ef(0)
D.f(4)<e4f(0)
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,短轴长为
,过右焦点F的直线l与C相交于A,B两点.O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,且 =
+
,求直线l的方程.
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