Question

已知：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）当n=5时，求a₂的值．
（2）设Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

a0-1

，求证：

n

2

＜Sn≤n，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）将n=5代入（x+1）ⁿ中，变形可得[（x-1）+1]⁵，则a₂为其展开式中（x-1）²的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由于与二项式有关，故可采用赋值法．取x=1，则a₀=2ⁿ，从而可求S_n，再用数学归纳法证明即可，只不过需注意假设n=k时成立，求当n=k+1时，S_n增加2^k+1-2^k=2^k项．

解答：解：（1）根据题意，（x+1）⁵=[2+（x-1）]⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵，
则a₂（x-1）²=C₅²2^5-2（x-1）²
故a₂=80；
（2）在：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ中，
令x=1，可得a₀=2ⁿ，
则Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

a0-1

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

，
①当n=2时，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

=1+

1

2

+

1

3

，显然1＜S_n≤2
故当n=2时，满足

n

2

＜Sn≤n
②假设当n=k（k＞2，k∈N）时，满足

n

2

＜Sn≤n，
即

k

2

＜S_k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

≤k成立，
当n=k+1（k＞2，k∈N）时，
S_k+1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-2

＞

k

2

+

1

2

×（

1

2k-1

+

1

2k

…+

1

2k-1

）
＞

k

2

+

1

2

=

k+1

2

S_k+1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

≤k+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

≤k+1
故当n=k+1（k＞2，k∈N）时，

k+1

2

＜S_k+1≤k+1
综合①②可知，

n

2

＜Sn≤n，n∈N*，n≥2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，同时考查了数学归纳法，属于中档题．