Question

如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是

1. A.
   当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个．
2. B.
   当a=1时，满足条件的点P有三个．
3. C.
   当a＞1时，满足条件的点P有无数个．
4. D.
   当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个．

Answer 1

C
分析：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x²+（y-）²=（a-1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．
解答：解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则A（-，0），B（，0），C（0，），设P（x，y），可得
=x²+（y-）²，=（x+）²+y²，=（x-）²+y²
∵
∴x²+（y-）²+（x+）²+y²+（x-）²+y²=a
化简得：3x²+3y²-y+-a=0，即x²+y²-y+-=0
配方，得x²+（y-）²=（a-1）…（1）
当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；
当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆
由此对照各个选项，可得只有C项符合题意
故选：C
点评：本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．