如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,,,面,设为中点,点在线段上且.
(1)求证:平面;
(2)设二面角的大小为,若,求的长.
( 1 )证明过程详见解析;(2) .
解析试题分析:
(1)利用三角形的余弦定理和勾股定理即可证明为直角三角形,即.再根据垂直的判断可以得到相互垂直,即可以以这三条边建立三维空间直角坐标系,利用坐标法来证明线面平行,首先求出平面ACF的法向量,计算法向量与BE的内积,证明该内积为0即可得到线面平行.
(2)利用第(1)问平面ACF的法向量,再求出面DCF的法向量,则二面角即为两法向量所成角或者其补角,故两法向量夹角的余弦值为满足,即可求出PA的长度.
试题解析:
(1)由,得,.
又面,所以以分别为轴建立坐标系如图.
则
设,则 .
设,得:
.
解得:,,,
所以. 5分
所以,,.
设面的法向量为,则,取.
因为,且面,所以平面. 9分
(2)设面法向量为, 因为,,
所以,取 . 11分
由,得.
,,所以. 15分
考点:三维空间直角坐标系 法向量 内积
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB ≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱AB上的动点.
(1)求证:DA1⊥ED1;
(2)若直线DA1与平面CED1成角为45o,求的值;
(3)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,侧棱,,M、N两点分别在侧棱PB、PD上,.
(1)求证:PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC与平面MNC的夹角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)·.
(2)EG的长.
(3)异面直线EG与AC所成角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,圆锥的高PO=4,底面半径OB=2,D为PO的中点,E为母线PB的中点,F为底面圆周上一点,满足EF⊥DE.
(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值;
(2)求二面角OOFE的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
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