Question

8．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若$f（x）=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}$属于集合M，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）=2^x+bx²，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．　　（2）由$f（x）=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}$属于集合M，推出$lg\frac{a}{{{{（x+2）}^2}+2}}=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}+lg\frac{a}{6}$有实解，即（a-6）x²+4ax+6（a-2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．
（3）当f（x）=2^x+bx²时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）?3×2^x+4bx-4=0，令g（x）=3×2^x+4bx-4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．

解答 解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）?3t+8=3t+10…（2分）
此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），
故f（x）=3x+2不属于集合M．　　　　　　　　　　  …（4分）
（2）由$f（x）=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}$属于集合M，可得
方程$lg\frac{a}{{{{（x+2）}^2}+2}}=lg\frac{a}{{{x^2}+2}}+lg\frac{a}{6}$有实解?a[（x+2）²+2]=6（x²+2）有实解?（a-6）x²+4ax+6（a-2）=0有实解，…（7分）
若a=6时，上述方程有实解；
若a≠6时，有△=16a²-24（a-6）（a-2）≥0，解得$12-6\sqrt{3}≤a≤12+6\sqrt{3}$，
故所求a的取值范围是$[12-6\sqrt{3}，12+6\sqrt{3}]$．　　　    …（10分）
（3）当f（x）=2^x+bx²时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）?2^x+2+b（x+2）²=2^x+bx²+4+4b?3×2^x+4bx-4=0，…（12分）
令g（x）=3×2^x+4bx-4，则g（x）在R上的图象是连续的，
当b≥0时，g（0）=-1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；
当b＜0时，g（0）=-1＜0，$g（\frac{1}{b}）=3×{2^{\frac{1}{b}}}＞0$，故g（x）在$（\frac{1}{b}，0）$内至少有一个零点；
故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，
所以对任意实数b，都有f（x）∈M．                       …（16分）

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．