【题目】如图,在五面体中,侧面是正方形,是等腰直角三角形,点是正方形对角线的交点,且.
(1)证明:平面;
(2)若侧面与底面垂直,求五面体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点,连接、,证明四边形为平行四边形,可得出,再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面;
(2)取的中点,的中点,连接、、,将五面体分割为三棱柱和四棱锥,证明出底面和平面,然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积,相加可得出五面体的体积.
(1)取的中点,连接、,
侧面为正方形,且,为的中点,
又为的中点,且,
且,,所以,四边形为平行四边形,.
平面,平面,平面;
(2)取的中点,的中点,连接、、,
四边形为正方形,.
平面平面,平面平面,平面,
底面,
易知,,,
,
为中点,,,
平面,平面,,
,、平面,平面.
,平面,且,
,因此,.
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【题目】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)写出函数的解析式;
(2)若对任意 , 恒成立,求实数的取值范围;
(3)求实数和正整数,使得在上恰有个零点.
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【题目】如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点, ,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面, 为的中点,如图2.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求F到平面A1OB的距离.
图1 图2
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【题目】下列四个结论中,错误的序号是___________.①以直角坐标系中轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为,若曲线C上总存在两个点到原点的距离为,则实数的取值范围是;②在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域宽度越宽,说明模型拟合精度越高;③设随机变量,若,则;④已知为满足能被9整除的正数的最小值,则的展开式中,系数最大的项为第6项.
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【题目】(本题满分12分)如图, 是圆的直径,点是圆上异于的点, 垂直于圆所在的平面,且.
(Ⅰ)若为线段的中点,求证平面;
(Ⅱ)求三棱锥体积的最大值;
(Ⅲ)若,点在线段上,求的最小值.
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【题目】甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为,且,若,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________
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【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,E为DD1中点.
(1)求证:BD1∥平面ACE;
(2)求证:BD1⊥AC.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FG||平面BED;
(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=1,AD,F是PB中点,E为BC上一点.
(1)求证:AF⊥平面PBC;
(2)当BE为何值时,二面角C﹣PE﹣D为45°.
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