Question

【题目】已知动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离少2．

（1）求点P的轨迹E的方程．

（2）过点F的两直线l1、l2分别与轨迹E交于A，B两点和C，D两点，且满足=0，设M，N两点分别是线段AB，CD的中点，问直线MN是否恒过一定点，若经过，求定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）（0，3）

【解析】

（1）由题意知动点P到点F的距离等于它到直线x＝﹣1的距离，可得点P轨迹E是抛物线．（2）根据题意可知直线l1，l2都有斜率，设直线l1的方程为y＝kx+1（k≠0），代入x2＝4y，利用根与系数的关系可得M（2k，2k2+1），由=0，可得，设出直线l2，可得N，写出直线MN的方程，化简即可得出结论．

（1）由题意知动点P到点F（0，1）的距离等于它到直线x=-1的距离相等，

所以点P的轨迹E是抛物线，轨迹方程是x2=4y

（2）根据题意可知，直线l1，l2都有斜率，

设直线l1的方程为y=kx+1（k≠0），代入x2=4y，得x2-4kx-4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∴M（2k，2k2+1）∵，∴

设直线l2：，C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得N

所以直线MN的方程为，化简得：y-3=x，

所以直线MN恒过定点（0，3）．