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已知函数f(x)=loga(ax2-x+
1
2
)
在[1,2]上恒正,则实数a的取值范围是(  )
分析:g(x) = ax2-x+
1
2
,由g(x)>0,可得a>
1
x
-
1
2x2
,故a>
1
2
,g(x)在[1,2]上是递增函数.当a>1时,f(x)在[1,2]上是增函数,根据f(1)>0求出a的取值范围;当
1
2
<a<1时,f(x)在[1,2]上是减函数,由f(2)>0求出a的取值范围,最后把这两个范围取并集.
解答:解:设 g(x) = ax2-x+
1
2
,由g(x) = ax2-x+
1
2
>0,可得 a>
1
x
-
1
2x2

当1≤x≤2时,
1
x
-
1
2x2
的最大值为
1
2
,从而a>
1
2

在a>
1
2
的前提下,易知函数g(x)的对称轴x=
1
2a
 在区间[1,2]的左边,
从而g(x)在[1,2]上是递增函数.
当a>1时,f(x)在[1,2]上是增函数,有f(1)=
log
(a-
1
2
)
a
>0=loga1,∴a>
3
2

1
2
<a<1时,f(x)在[1,2]上是减函数,有f(2)=
log
(4a-2+
1
2
)
a
>0=loga1
∴4a-2+
1
2
<1,a<
5
8
.故有 
1
2
<a<
5
8

综上,a>
3
2
   或 
1
2
<a<
5
8

故选:C.
点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,二次函数的性质,复合函数的单调性,体现了分类讨论的数学思想.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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