Question

已知点列M₁（x₁，1），M₂（x₂，2），…，M_n（x_n，n），且与向量垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数．设x₁=1，求数列{x_n}的通项公式，并求其前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：利用与向量垂直，可得，从而可得，利用叠加法，确定数列的通项，分类讨论，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可得到结论．
解答：解：由题意得：…（2分）
∵与向量垂直，
∴
∴
∵c≠0
∴  …（4分）
∴x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=c^n-1+c^n-2+…+c+1…（6分）
当c=1时，x_n=n，此时，S_n=1+2+…+n=  …（8分）
当c≠1时，x_n=c^n-1+c^n-2+…+c+1=      …（10分）
此时，S_n==
=…（12分）
点评：本题考查数列与向量的综合，考查叠加法，考查数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．