Question

1．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，过点（0，2）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点，
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率．
（2）O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，可得椭圆的焦点和离心率的大小；
（2）由直线和圆相切的条件：d=r，求得直线的斜率，再由直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．

解答 解：（1）椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则焦点坐标为（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设切线的方程为y=kx+2，
由直线和圆相切的条件可得d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\sqrt{3}$，
取直线y=$\sqrt{3}$x+2，代入椭圆方程，可得
13x²+16$\sqrt{3}$x+12=0，即有x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}}{13}$，x₁x₂=$\frac{12}{13}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+3}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{\frac{16×48}{1{3}^{2}}-\frac{48}{13}}$=$\frac{24}{13}$，
则△OAB的面积为$\frac{1}{2}$×1×$\frac{24}{13}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式的运用，属于中档题．