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2.设函数f(x)为(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2016)2f(x+2016)-9f(-3)>0的解集为(-∞,-2019).

分析 通过观察2f(x)+xf′(x)>x2,不等式的左边像一个函数的导数,又直接写不出来,对该不等式两边同乘以x,由x<0,可得到2xf(x)+x2f′(x)<x3,而这时不等式的左边是(x2f(x))′,所以构造函数F(x)=x2f(x),则能判断该函数在(-∞,0)上是减函数.这时F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(-3)=9f(-3),而到这会发现不等式(x+2016)2f(x+2016)-9f(-3)>0可以变成F(x+2016)>F(-3),从而解这个不等式便可,而这个不等式利用F(x)的单调性可以求解.

解答 解:由2f(x)+xf′(x)>x2,(x<0);
得:2xf(x)+x2f′(x)<x3
即[x2f(x)]′<x3<0;
令F(x)=x2f(x);
则当x<0时,F'(x)<0,即F(x)在(-∞,0)上是减函数;
∴F(x+2016)=(x+2016)2f(x+2016),F(-3)=9f(-3);
即不等式等价为F(x+2016)-F(-3)>0;
∵F(x)在(-∞,0)是减函数;
∴由F(x+2016)>F(-3)得,x+2016<-3,
∴x<-2019;
故答案为:(-∞,-2019).

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系,两个函数乘积的导数的求法,而构造函数是解本题的关键.

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