Question

已知f（x）=log_a（a-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，若不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当0＜a＜1时，由a-a^x＞0得x＞1，此时定义域为（1，+∞）；
当a＞1时，由a-a^x＞0得x＜1，此时定义域为（-∞，1）．
（2）令y=log_a（a-a^x），则a^y=a-a^x，解得x=log_a（a-a^y），
所以f^-1（x）=log_a（a-a^x）（a＞0，x＜1）
又因为函数y=log_a（a-a^x）（a＞0，x＜1）在定义域上单调递减，于是不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等价于不等式x²-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立．
由于x∈[-3，-1]，所以在x∈[-3，-1]上恒成立．
因函数在区间[-3，-1]上的最小值为-6，所以m＜-6．
分析：（1）由于是对数函数，故其真数大于0，再对a进行分类讨论；
（2）不等式f^-1（x²-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等价于不等式x²-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立，从而分离参数在x∈[-3，-1]上恒成立，从而可求实数m的取值范围．
点评：本题以对数函数为载体，考查函数的定义域，考查恒成立问题的处理，考查分离参数法，考查利用基本不等式求最值．