Question

已知在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，3

AB

•

AD

+4

CB

•

CD

=0，求三角形ABC的外接圆半径R为

2 21

3

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积运算，可得cosA=-cosC，进一步得到cosB=-cosD，利用余弦定理，确定sinB=

3

2

，利用正弦定理，即可得出结论．

解答：解：∵3

AB

•

AD

+4

CB

•

CD

=0，
∴3|AB||AD|cosA+4|CB||CD|cosC=0，
∵AB=AD=4，BC=6，CD=2，
∴可得cosA=-cosC
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴A+C=π，∴B+D=π，即cosB=-cosD
由余弦定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²-|AB||BC|cosB=52-48cosB①|
AC|²=|AD|²+|CD|²-2|AD||CD|cosD=20-16cosD=20+16cosB②
联立①②解得：cosB=

1

2

，|AC|=2

7

，
∴sinB=

3

2

设三角形ABC的外接圆的半径为R，根据正弦定理得2R=

|AC|

sinB

，
∴R=

2 21

3

故答案为：

2 21

3

点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理、正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．