Question

12．已知x，y满足 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y-8≤0}\\{x-4y+4≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，求z=3x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．

解答 解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=-3x+z的截距最小，
此时z最小．此时z的最小值为z=1，
可知当直线y=-3x+z，经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-8=0}\\{x-4y+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（4，2），
此时z的最大值为z=12+2=14．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．