Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=

1

f(x)

，且当x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=

sinπx，x≥0 - 1 x ，x＜0

，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点的个数为（　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、11

Answer 1

考点：正弦函数的图象,根的存在性及根的个数判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得可得f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数．本题即求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象在区间[-5，5]上的交点的个数，数形结合可得结论

解答： 解：由f（x+1）=

1

f(x)

，可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期为2的周期函数．
函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点的个数，
即函数f（x）的图象和函数g（x）=

sinπx，x≥0 - 1 x ，x＜0

的图象在区间[-5，5]上的交点的个数，
当x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，
如图所示：数形结合可得函数f（x）的图象和函数g（x）的图象
在区间[-5，5]上的交点的个数为10，
故选：C．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，正弦函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．