Question

已知有穷数列{a_n}只有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且Sn=

an+1-2

a-1

(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=2

2

2k-1

，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，（n=1，2，3，…，2k），Tn=

1

n

(b1+b2+b3+…+bn)，求证：1≤T_n≤2．

Answer 1

分析：（1）分别表示出S_n和S_n-1．进而根据a_n=S_n-S_n-1．求得a_n+1=a•a_n，推断出数列{a_n}为等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得a_n．
（2）把数列{a_n}的通项公式代入数列{b_n}的通项公式，根据n的范围确定b_n的范围．

解答：解：（1）n≥2时，Sn=

an+1-2

a-1

，Sn-1=

an-2

a-1

两式相减得Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，a1=S1=

a2-2

a-1

=2，
∴a₂=2a，
则，数列{a_n}的通项公式为a_n=2•a^n-1．
（2）把数列{a_n}的通项公式代入数列{b_n}的通项公式，
可得bn=

1

n

log2(a1a2an)
=

1

n

(log2a1+log2a2++log2an)
=

1

n

[1+(1+

2

2k-1

)+(1+

4

2k-1

)++(1+

2n-2

2k-1

)]
=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

∵1≤n≤2k，
故1≤b_n≤2

点评：本题主要考查了数列的递推式．数列递推式的题难度较大，形式多样，故应加强练习．