Question

设A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）是抛物线x²=4y上不同的两点，且该抛物线在点A、B处的两条切线相交于点C，并且满足

AC

•

BC

=0．
（1）求证：x_1•x₂=-4；
（2）判断抛物线x²=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线方程的导函数，进而设出点A、B处的切线的斜率；再利用

AC

•

BC

=0得到

AC

⊥

BC

，即可得到关于点A、B横坐标之间的等量关系，即可证明结论．
（2）先利用

AC

•

BC

=0得经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，利用中点坐标公式求出点D；再利用两点间的距离公式求出圆的半径的表达式，整理即可得到抛物线x²=4y的准线与经过A、B、C三点的圆的位置关系．

解答：证明：（1）由x²=4y得y=

1

4

x2，则y′=

1

2

x，
∴抛物线x²=4y在点A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别为

1

2

x1，

1

2

x2，…（2分）
∵

AC

•

BC

=0，∴

AC

⊥

BC

，…（4分）
∴抛物线x²=4y在点A（x₁，x₂）、B（x₂，y₂）处两切线互相垂直，
∴

1

2

x1•

1

2

x2=-1，
∴x_1•x₂=-4．…（6分）
解：（2）∵

AC

•

BC

=0，
∴

AC

⊥

BC

，
∴经过A、B、C三点的圆的圆心为线段AB的中点D，
圆心D(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，…（8分）
∵抛物线x²=4y的准线方程为y=-1，
∴点D(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)到直线
y=-1的距离为d=

y1+y2

2

+1，…（10分）
∵经过A、B、C三点的圆的半径r=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

2

，
由于x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，且x_1•x₂=-4，则y1y2=

1

16

(x1x2)2=1，
∴r=

x12+x22-2x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

2

=

4y1+4y2+8+(y1+y2)2-4

2

=

(y1+y2)2+4(y1+y2)+4

2

=

(y1+y2+2)2

2

=

y1+y2+2

2

=

y1+y2

2

+1，…（12分）
∴d=r，
∴抛物线x²=4y准线与经过A、B、C三点的圆相切．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，做这一类型题目的关键是看清题中给出的条件，灵活运用中点坐标公式以及点到直线的距离公式，抛圆锥曲线的定义进行求解．