Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S

2 n

=a_n（S_n-

1

2

）
（1）求S_n的表达式
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，T_n是{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，从而

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，由此得到数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列，从而能求出S_n=

1

2n-1

．
（2）由b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂项求和法能求出使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值．

解答： 解：（1）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

），a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

），
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1•S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1•S_n，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，∴S_n=

1

2n-1

．
（2）∵b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．
∵T_n＜

m

20

，∴

m

20

≥

1

2

，
∴使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值为10．

点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．