Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PCD；
（2）若点Q为PC中点，∠BAD=120°，PA= ，AB=1，求三棱锥A﹣QCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PD中点R，连结MR，CR，

∵M是PA的中点，R是PD的中点，

∴MR= AD，MR∥AD，

∵四边形ABCD是菱形，N为BC的中点，

∴NC= ，NC∥AD．

∴NC∥MR，NC=MR，

∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN∥CR，又CR平面PCD，MN平面PCD，

∴MN∥平面PCD．

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AC=AD=CD=1，∴ ．

∵Q是PC的中点，∴Q到平面ABCD的距离h= PA= ．

∴ ．

【解析】（1）取PD中点R，连结MR，CR，通过证明四边形MNCR是平行四边形得出MN∥CR，于是MN∥平面PCD；（2）棱锥Q﹣ACD的底面△ACD为等边三角形，高为PA的 ，代入体积公式计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．