精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
7.已知函数f(x)=ex-kx+k(k∈R).
(1)试讨论函数y=f(x)的单调性;
(2)若该函数有两个不同的零点x1,x2,试求:(i)实数k的取值范围;(ii)证明:x1+x2>4.

分析 (1)求出函数的导数,通过讨论k的范围求出函数的单调区间即可;
(2)(i)结合题意得到k>0时,函数的单调性,从而求出k的范围即可;
(ii)先求出两个根的范围,问题转化为数x2-x1=ln(x2-1)-ln(x1-1),令y2=x2-1,y1=x1-1,即y2-y1=lny2-lny1=ln$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$,问题转化为证明y1+y2>2,
即证$\frac{2{(y}_{2}{-y}_{1})}{{{y}_{2}+y}_{1}}$<ln$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$,令$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=t>1,即证$\frac{2(t-1)}{t+1}$<lnt,根据函数的单调性证明即可.

解答 解:(1)由f(x)=ex-kx+k,(k∈R),则f′(x)=ex-k,
讨论:若k≤0,则f′(x)>0,故f(x)在定义域上单调递增;
若k>0,令f′(x)>0,解得x>lnk;令f′(x)<0,解得x<lnk,
综上:当k≤0时,f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间;
当k>0时,f(x)的单调递增区间为(lnk,+∞),单调递减区间为(-∞,lnk),
(2)(i)由题意:由(1)可知,当k≤0时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去;
k>0时,令f(lnk)=elnk-klnk+k<0,解得k>e2
此时f(1)=e>0;x→+∞时,f(x)→+∞>0,
因此会有两个零点,符合题意.
综上:实数k的取值范围是(e2,+∞);
(ii):由(i)可知:k>e2时,此时f(1)=e>0;x→+∞时,f(x)→+∞>0,且f(2)=e2-k<0,
因此x1∈91,2),x2∈(2,+∞),
由${e}^{{x}_{1}}$=kx1-k,${e}^{{x}_{2}}$=kx2-k,相除后得到${e}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$,
取对数x2-x1=ln(x2-1)-ln(x1-1),令y2=x2-1,y1=x1-1,
即y2-y1=lny2-lny1=ln$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$,要证 x1+x2>4,即证y1+y2>2,
即证$\frac{2{(y}_{2}{-y}_{1})}{{{y}_{2}+y}_{1}}$<ln$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$,令$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=t>1,即证$\frac{2(t-1)}{t+1}$<lnt,
构造函数h(t)=lnt-$\frac{2(t-1)}{t+1}$(t>1),
由h′(t)=$\frac{{(t-1)}^{2}}{{t(t+1)}^{2}}$>0,y=h(t)单调递增,
则h(t)>h(1)=0,故不等式成立,
综上,原不等式成立.

点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查分类讨论思想,是一道综合题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).
(1)当a=4时,求函数y=g(x)在x=0处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)如果关于x的方程g(x)=2exf(x)在区间[$\frac{1}{e}$,e]上有两个不等实根,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.已知两曲线的参数方程为C1:$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$,(θ为参数);C2:$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}{t^2}\\ y=t\end{array}$,(t为参数),且两曲线的交点为A,B两点.
(1)求两曲线的普通方程以及线段AB的长度;
(2)若点P在曲线C1上,且△PAB的面积为$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$,求点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.在△ABC中,已知BC=6,C=45°,cosA=$\frac{4}{5}$,则△ABC的面积为21.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.如果函数f(x)=$\frac{1}{1+{e}^{x}}$+a是奇函数,则实数a=(  )
A.1B.$\frac{1}{2}$C.-$\frac{1}{2}$D.-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知函数f(x)=$\frac{{{{(x-a)}^2}}}{lnx}$(其中a为常数).
(Ⅰ)当a=0时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)a≥$\frac{1}{2}$且函数f(x)有3个极值点,求a的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

19.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物),为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如表:
时间周一周二周三周四周五
车流量x(万辆)100102108114116
浓度y(微克)7880848890
根据上表数据,用最小二乘法求出y与x的线性回归方程是(  )
参考公式:b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,a=$\overline{y}$-b•$\overline{x}$;参考数据:$\overline{x}$=108,$\overline{y}$=84.
A.$\hat y$=0.62x+7.24B.$\hat y$=0.72x+6.24C.$\hat y$=0.71x+6.14D.$\hat y$=0.62x+6.24

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法,对某市部分学校的600名师生进行调查,统计结果如下:
赞成改革不赞成改革无所谓
教师人数120y30
学生人数xz110
在这600名师生中随机抽取1人,这个人“赞成改革”且是学生的概率为0.4,已知y=$\frac{2}{3}$z
(1)现从这600名师生中用分层抽样的方法抽取60人进行问卷调查,则应抽取“不赞成改革”的教师和学生的人数各是多少?
(2)在(1)中抽取的“不赞成改革”的教师中(甲在其中),随机选出2人进行座谈,求教师甲被选中的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

17.设当x=θ时,函数f(x)=2sinx-cosx取得最大值,则cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案