Question

已知点A（cosα，sinα），点B（cos（α+），sin（α+）），点C（1，0）．
（Ⅰ）若|CA|=，求α的值；
（Ⅱ）若α∈（），求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由|CA|=，可得 （cosα-1）²+sin²α=3，化简可得cosα=-，由此求得 α 的值．
（Ⅱ）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简 的解析式为 +sin（α-），由α∈（），可得 α-∈[-，]，再根据正弦函数的定义域和值域求得的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）若|CA|=，则有 （cosα-1）²+sin²α=3，化简可得cosα=-，∴α=2kπ+，或α=2kπ+，k∈z．
（Ⅱ）∵=（cosα-1，sinα）•（cos（α+）-1，sin（α+））=（cosα-1）[cos（α+）-1]+sinα•sin（α+）
=（cosα-1）（cosα-sinα-1）+sinα（sinα+cosα）=cos²α-sinαcosα-cosα-++1+sin²α+
=-cosα+=+（sinα-cosα）=+sin（α-），
而由α∈（），可得 α-∈[-，]，∴-≤sin（α-）≤，∴-≤sin（α-）≤，
故 ≤≤，即的取值范围是[，]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．