Question

函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
Ⅰ．求证：f（0）=1；
Ⅱ．当x＜0时，比较f（x）与1的大小；
Ⅲ．判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
Ⅳ．如果，试求f（2002）的值．

Answer 1

证明：（I）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）
令m=1，（1）=f（1）f（0）
∵x＞0时，0＜f（x）＜1
∴0＜f（1）＜1
∴f（0）=1
（II）当x＜0时，-x＞0，则0＜f（-x）＜1
∵f（0）=f（x）f（-x）=1
∴
∴f（x）＞1
（Ⅲ）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
由II可得f（x₁-x₂）＞1
∵f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）
∴函数f（x）单调递减
（IV）∵f（3）=f（1）f（2）=f³（1）=
∴
∵f（m+n）=f（m）•f（n）对任意的m，n都成立
f（2002）=f²⁰⁰²（1）=
分析：（I）由f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，（1）=f（1）f（0）及x＞0时，0＜f（x）＜1可求f（0）
（II）当x＜0时，-x＞0，则0＜f（-x）＜1，而f（0）=f（x）f（-x）=1可得，从而可得f（x）与1的大小
（III）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0，由II可得f（x₁-x₂）＞1，而f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）可判断函数的单调性
（IV）由f（3）=f（1）f（2）=f³（1）=可求f（1），进而可求f（2002）
点评：本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，主要采用的赋值法，构造x₁=x₁-x₂+x₂，是证明函数的单调性的 关键，属于函数知识的综合应用．