Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，满足f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+5）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）函数f（x）=log₂x就是一个符合条件的函数；
（3）f（6）=1，依题意知，f（36）=2，f（x+5）-f（

1

x

）＜2?f（（x+5）x）＜f（36），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，解相应的不等式组即可．

解答：解：（1）令x=y=1，
∴f（1）=f（1）-f（1）
∴f（1）=0；
（2）函数f（x）=log₂x就是一个符合条件的函数，
∵log2(

x

y

)=log₂x-log₂y，
满足f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（3）∵f（6）=1，
∴2f（6）=f（36）=2，
∵f（x+5）-f（

1

x

）＜2，
∴f（（x+5）x）＜2，
∴f（（x+5）x）＜f（36），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴（x+5）x＜36，
∴x∈（-9，4），又x+5＞0，

1

x

＞0，
∴x∈（0，4）即为所求．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及函数单调性的应用，属于中档题．