Question

定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），当1≤s≤4时，则t²+s²-2s的取值范围为（　　）

• A．[-2，10]
• B．[-

  1

  2

  ，1]
• C．[0，9]
• D．[-

  1

  2

  ，24]

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）成中心对称，易得函数y=f（x）是奇函数，根据函数单调性和奇偶性的性质可得s²-2s≥t²-2t，进而得到s与t的关系式，最后找到目标函数z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，利用线性规划问题进行解决．

解答：解：y=f（x-3）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了3个单位．
又由于y=f（x-3）图象关于（3，0）点对称，
向左移回3个单位即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称，故函数是奇函数．
所以f（2t-t²）=-f（t²-2t），即f（s²-2s）≥f（t²-2t）．
因为y=f（x）函数是增函数，所以s²-2s≥t²-2t，移项得：s²-2s-t²+2t≥0，
即：（s-t）（s+t-2）≥0，解得：s≥t且s+t≥2，或s≤t且s+t≤2．
转化为线性规划问题：已知s≥t且s+t≥2，且1≤s≤4，目标函数：z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，
画出可行域：

z=t²+s²-2s 的最值，转化为可行域中的点到点（0，1）距离的平方减去1，
z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，
∴z的最小值为点（0，1）到直线s+t=2距离的平方减去1，∴z_min=(

|-1|

2

)2-1=-

1

2

，
z的最大值为点（0，1）到点（4，4）距离的平方减去1，
z_max=（-4）²+（-3）²-1=24，∴-

1

2

≤z≤24．
当s≤t且s+t≤2，且1≤s≤4，可行域不存在，舍去；
∴t²+s²-2s 的取值范围是[-

1

2

，24]，
故选 D．

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中根据已知条件得到函数为奇函数，进而将不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），转化为s²-2s≥t²-2t，最后转化到线性规划问题上解决，就比较简单了，属于中档题．